En agosto de 1900 en el Collège de France se celebraba el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos. Entre los asistentes se encontraba David Hilbert, quizá el matemático más brillante del siglo XX, que ofreció una conferencia titulada Los problemas de las matemáticas. Comenzó recordando los dos problemas de las matemáticas más famosos que quedaban por resolver: el Último Teorema de Fermat –resuelto por el inglés Andrew Wiles en 1999- y el conocido entre los matemáticos como el problema de los tres cuerpos –que sigue sin solución y posiblemente no la tenga-. A continuación pasó a enunciar 23 problemas de los que tampoco se conocía solución con el laudable propósito de inspirar a generaciones futuras de matemáticos. Y no falló. A pesar de que 16 siguen sin ser resueltos, la llamada “lista de éxitos de Hilbert” ha marcado las matemáticas desde entonces. El matemático Hermann Weyl dijo sobre ellos: “Cualquiera que resuelva tan sólo uno de ellos, entrará a formar parte del grupo de honor de las matemáticos”. De todos ellos el más famoso es la llamada Conjetura de Riemann.

Este enigma matemático formulado en 1859 por el alemán G. F. B. Riemann tiene que ver con los números, en particular con los llamados números primos, aquellos que sólo son divisibles exactamente por sí mismos y por el uno: 2, 3, 5, 7, 11… Dicho de otro modo, no se pueden expresar como producto de otros dos más pequeños.

Los misteriosos números primos

Los números primos son bastante peculiares y muchos de los enigmas matemáticos que hoy perduran tienen que ver con ellos. Por ejemplo, la llamada Conjetura de Goldbach, enunciada por primera vez el 7 de junio de 1742 en una carta que el matemático al que debe su nombre dirigió a uno de los más geniales matemáticos de la historia, Leonhard Euler: “Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos”. Esta conjetura está considerada no solo uno de los problemas no resueltos más difíciles de la teoría de números, sino de todas las matemáticas. Euler la reformuló afirmando que todos los números pares mayores que 2 se pueden expresar como suma de dos primos. Ahora bien, ¿es cierto? Nadie ha podido demostrarlo todavía, a pesar de que Faber y Faber ofreció un premio de un millón de dólares para quien pudiera demostrar la Conjetura entre el 20 de marzo de 2000 y la misma fecha de 2002 (en 1977 el ruso Pogorzelski afirmó haberla demostrado, pero su optimismo no fue compartido por el resto de sus colegas).

Aparentemente, los números primos sólo interesan a un puñado de locos matemáticos. Seguro que el único recuerdo que nos queda de ellos es de nuestros tiempos de colegio, cuando nos ponían ejercicios de factorización en números primos. Por ejemplo, 15 es el producto del 3 y del 5, que son primos. Factorizar números es una tarea ardua y si no fuera por aquellas reglas que nos enseñaron en la escuela sería bastante difícil conseguir nuestro objetivo. El problema aparece cuando el número a factorizar es grande, como 4294967297. Aquí fallan todas las reglas que nos enseñaron y si queremos intentar factorizarlo debemos empezar a hacer probatinas. Con un mucho de suerte podríamos llegar a descubrir que ese número es el producto de 641 por 6700417, que son primos.

Buscando un patrón entre los primos

Quizá se pregunte por qué hemos escogido este número. Porque es el quinto número de Fermat, un matemático del siglo XVII que inventó una serie muy simple que se construye de la manera siguiente: se coge el dos y se eleva a dos elevado a un número natural. En nuestro caso, como es el quinto número de Fermat, se eleva a la quinta. Y al final se le suma uno. Nuestro quinto número es, por tanto, dos elevado a la dos elevado a la cinco más uno, o lo que es lo mismo, 2 a la 32 y lo que sale más uno. Lo curioso de esta serie de números gigantescos es que Fermat creía que era una serie de números primos. Pero estaba equivocado pues en 1732 el genial Euler factorizó el quinto número. Poco a poco se fueron factorizando los siguientes: el octavo cayó en 1980 y el noveno en 1990, en un desafío que exigió varias semanas de colaboración entre 200 matemáticos y mil ordenadores en todo el mundo.

La búsqueda de números primos cada vez más grandes es uno de los grandes retos matemáticos. El último primo, el más grande conocido hasta la fecha, fue encontrado el 7 diciembre de 2018 y tiene 23249425 cifras: es 2^82589933 − 1. Fue descubierto por Patrick Laroche, un informático de Florida que pertenece al grupo GIMPS (Gran Búsqueda de Números Primos de Mersenne por Internet) que desde 1996 se dedica precisamente a eso, buscar números primos del estilo 2 elevado a un número menos 1.

La búsqueda del siguiente número primo no se detiene. Y no sólo por el prurito de la gloria, sino también porque la Fundación Electronic Frontiers ofrece una recompensa de 250.000 dólares a quien encuentre el primer primo que tenga mil millones de dígitos.

Los primos y la seguridad de naciones y bancos

Ahora podríamos preguntar, como hacen muchos alumnos de secundaria, para qué sirve perder el tiempo en estas cosas. La razón es simple: si alguien descubre una forma rápida de factorizar grandes números podría saltarse los controles de seguridad de bancos, tarjetas de crédito, Ministerios de Defensa… Para mantener ocultos sus datos de posible curiosos, los encriptan con códigos basados en los factores primos de grandes números.

Y aquí es donde enlazamos con la Conjetura de Riemann y su importancia tanto para las matemáticas puras como para las aplicadas. El matemático alemán se preguntó si la distribución de los números primos a lo largo de la sucesión de los números naturales sigue algún patrón. Dicho de otro modo, ¿hay alguna forma de predecir dónde vamos a encontrar un número primo? La apuesta que hizo Riemann hace 145 años es que la frecuencia de aparición de los números primos está relacionada con todas las soluciones interesantes de una elaborada función matemática que recibe el nombre, a la sazón, de función Zeta de Riemann. Hasta el momento no se ha podido demostrar si es cierta, algo que resulta especialmente enervante teniendo en cuenta que un considerable número de importantes teoremas matemáticos dependen de que esta hipótesis lo sea.

Fuente: Muy Interesante